ウルトラフィルターとStone-Čechコンパクト化の構造

well-definedである（$\beta f(\mathcal{F})$ が $Y$ 上のウルトラフィルターになる）ことの証明：
$\mathcal{G} = \beta f(\mathcal{F})$ とおきます。
1. $f^{-1}(Y) = X \in \mathcal{F}$ より $Y \in \mathcal{G}$。$f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \notin \mathcal{F}$ より $\emptyset \notin \mathcal{G}$。
2. $B_1, B_2 \in \mathcal{G}$ ならば、$f^{-1}(B_1), f^{-1}(B_2) \in \mathcal{F}$。$\mathcal{F}$ はフィルターなので $f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2) = f^{-1}(B_1 \cap B_2) \in \mathcal{F}$。ゆえに $B_1 \cap B_2 \in \mathcal{G}$。
3. $B \in \mathcal{G}$ かつ $B \subseteq C \subseteq Y$ ならば、$f^{-1}(B) \in \mathcal{F}$ かつ $f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(C)$。よって $f^{-1}(C) \in \mathcal{F}$ となり $C \in \mathcal{G}$。
4. 任意の $B \subseteq Y$ について、$f^{-1}(Y \setminus B) = X \setminus f^{-1}(B)$ です。$\mathcal{F}$ はウルトラフィルターなので、$f^{-1}(B) \in \mathcal{F}$ または $X \setminus f^{-1}(B) \in \mathcal{F}$ のいずれかが成り立ちます。したがって、$B \in \mathcal{G}$ または $Y \setminus B \in \mathcal{G}$ となり、$\mathcal{G}$ は極大性を満たします。

well-definedである（$\mu_X(\mathfrak{U})$ が $X$ 上のウルトラフィルターになる）ことの証明：
$\mathcal{H} = \mu_X(\mathfrak{U})$ とおきます。
1. $X^* = \{ \mathcal{F} \in \beta X \mid X \in \mathcal{F} \} = \beta X$。$\beta X \in \mathfrak{U}$ より $X \in \mathcal{H}$。$\emptyset^* = \emptyset \notin \mathfrak{U}$ より $\emptyset \notin \mathcal{H}$。
2. $A, B \in \mathcal{H} \implies A^*, B^* \in \mathfrak{U}$。ここで $A^* \cap B^* = \{ \mathcal{F} \mid A \in \mathcal{F} \text{かつ} B \in \mathcal{F} \} = (A \cap B)^*$。$\mathfrak{U}$ はフィルターなので $(A \cap B)^* \in \mathfrak{U}$、よって $A \cap B \in \mathcal{H}$。
3. $A \in \mathcal{H}$ かつ $A \subseteq B \implies A^* \subseteq B^*$ （$A \in \mathcal{F}$ ならば $B \in \mathcal{F}$ だから）。$A^* \in \mathfrak{U}$ より $B^* \in \mathfrak{U}$、よって $B \in \mathcal{H}$。
4. 任意の $A \subseteq X$ について、$\mathcal{F}$ がウルトラフィルターであるため $(X \setminus A)^* = \beta X \setminus A^*$ となります。$\mathfrak{U}$ もウルトラフィルターなので、$A^* \in \mathfrak{U}$ または $\beta X \setminus A^* \in \mathfrak{U}$ のいずれかが成り立ちます。よって $A \in \mathcal{H}$ または $X \setminus A \in \mathcal{H}$ となります。

(1) 左単位律 $\mu_X \circ \eta_{\beta X} = id_{\beta X}$ :
任意の $\mathcal{F} \in \beta X$ をとります。$\eta_{\beta X}(\mathcal{F}) = \{ \mathcal{V} \subseteq \beta X \mid \mathcal{F} \in \mathcal{V} \} \in \beta\beta X$ です。
$\mu_X(\eta_{\beta X}(\mathcal{F})) = \{ A \subseteq X \mid A^* \in \eta_{\beta X}(\mathcal{F}) \} = \{ A \subseteq X \mid \mathcal{F} \in A^* \} = \{ A \subseteq X \mid A \in \mathcal{F} \} = \mathcal{F}$。

(2) 右単位律 $\mu_X \circ \beta(\eta_X) = id_{\beta X}$ :
$\mathcal{F} \in \beta X$ をとります。$\beta(\eta_X)(\mathcal{F}) = \{ \mathcal{V} \subseteq \beta X \mid \eta_X^{-1}(\mathcal{V}) \in \mathcal{F} \}$ です。
ここで $A^* \in \beta(\eta_X)(\mathcal{F}) \iff \eta_X^{-1}(A^*) \in \mathcal{F}$ ですが、$\eta_X^{-1}(A^*) = \{ x \in X \mid \eta_X(x) \in A^* \} = \{ x \in X \mid A \in \eta_X(x) \} = \{ x \in X \mid x \in A \} = A$ となります。
よって $A^* \in \beta(\eta_X)(\mathcal{F}) \iff A \in \mathcal{F}$ となり、$\mu_X(\beta(\eta_X)(\mathcal{F})) = \{ A \subseteq X \mid A \in \mathcal{F} \} = \mathcal{F}$ が示されます。

(3) 結合律 $\mu_X \circ \mu_{\beta X} = \mu_X \circ \beta(\mu_X)$ :
$\mathbb{U} \in \beta\beta\beta X$ とします。
左辺は $(\mu_X \circ \mu_{\beta X})(\mathbb{U}) = \{ A \subseteq X \mid (A^*)^{**} \in \mathbb{U} \}$ （ただし $\mathcal{V}^{**} = \{ \mathfrak{U} \in \beta\beta X \mid \mathcal{V} \in \mathfrak{U} \}$）となります。
右辺は $(\mu_X \circ \beta(\mu_X))(\mathbb{U}) = \{ A \subseteq X \mid \mu_X^{-1}(A^*) \in \mathbb{U} \}$ となります。
ここで任意の $\mathfrak{U} \in \beta\beta X$ に対して、$\mathfrak{U} \in \mu_X^{-1}(A^*) \iff \mu_X(\mathfrak{U}) \in A^* \iff A \in \mu_X(\mathfrak{U}) \iff A^* \in \mathfrak{U} \iff \mathfrak{U} \in (A^*)^{**}$ が成り立つため、両者は一致します。

像の稠密性の証明：
$X$ の像は $\eta_X(X)$ です。$\beta X$ の任意の空でない開集合は、ある $A \neq \emptyset$ に対する基本開集合 $A^*$ を含みます。$x \in A$ を一つ選ぶと、$A \in \eta_X(x)$ より $\eta_X(x) \in A^*$ となります。任意の開集合が $\eta_X(X)$ の元を含むため、$\eta_X(X)$ は稠密です。

Hausdorff性の証明：
$\mathcal{F} \neq \mathcal{G}$ なる異なるウルトラフィルターをとります。互いに極大なので、ある $A \in \mathcal{F}$ が存在して $A \notin \mathcal{G}$、すなわち $X \setminus A \in \mathcal{G}$ となります。
このとき $\mathcal{F} \in A^*$ かつ $\mathcal{G} \in (X \setminus A)^*$ です。$A^*$ と $(X \setminus A)^*$ は共通部分が $\emptyset^* = \emptyset$ となる互いに素な開集合であるため、$\beta X$ はHausdorffです。

コンパクト性の証明：
基本開集合の族 $\{ A^* \mid A \subseteq X \}$ を準開基とし、Alexanderの準開基の定理を用います。
$\beta X = \bigcup_{i \in I} A_i^*$ と被覆されたとし、有限部分被覆を持たないと仮定します。すると任意の有限部分集合 $J \subseteq I$ に対して $\bigcap_{j \in J} (X \setminus A_j)^*$ が空でない、すなわち $\bigcap_{j \in J} (X \setminus A_j) \neq \emptyset$ です。
これは $\{ X \setminus A_i \mid i \in I \}$ が有限交叉性を持つことを意味します。これを生成系とするウルトラフィルター $\mathcal{U}$ が存在しますが、このとき任意の $i$ について $X \setminus A_i \in \mathcal{U}$ となるため、$\mathcal{U} \in \bigcap_{i \in I} (X \setminus A_i)^* = \bigcap_{i \in I} (\beta X \setminus A_i^*)$ となり、$\bigcup_{i \in I} A_i^*$ が $\beta X$ 全体を被覆していることに矛盾します。よってコンパクトです。

極度不連結性の証明：
位相空間が極度不連結であるとは、任意の開集合の閉包が開集合になることです。
$U \subseteq \beta X$ を任意の開集合とし、開基の和として $U = \bigcup_{i \in I} A_i^*$ と表します。$A = \bigcup_{i \in I} A_i$ とおきます。
$A_i^* \subseteq A^*$ であり、$A^*$ は閉集合なので $\overline{U} \subseteq A^*$ です。
逆に、$\mathcal{F} \notin \overline{U}$ とすると、$\mathcal{F} \in B^*$ かつ $B^* \cap U = \emptyset$ となる開傍受 $B^*$ があります。$B^* \cap A_i^* = \emptyset \implies B \cap A_i = \emptyset$ がすべての $i$ で成り立つため、$B \cap A = \emptyset$、すなわち $B^* \cap A^* = \emptyset$ です。
$\mathcal{F} \in B^*$ なので $\mathcal{F} \notin A^*$ となり、$A^* \subseteq \overline{U}$ が示されます。結果として $\overline{U} = A^*$ となり、閉包は clopen な開基に一致し開集合となります。

$(\implies)$ の証明: $Y$ がHausdorffとし、$\mathcal{F}$ が異なる2点 $y, z$ に収束したとします。Hausdorff性より $V_y \cap V_z = \emptyset$ なる開傍受が存在します。収束の定義から $V_y \in \mathcal{F}$ かつ $V_z \in \mathcal{F}$ ですが、フィルターの性質により $V_y \cap V_z = \emptyset \in \mathcal{F}$ となり矛盾します。

$(\impliedby)$ の証明: 対偶を示します。$Y$ がHausdorffでないとすると、相異なる $y, z$ の任意の開傍受 $V_y, V_z$ に対して $V_y \cap V_z \neq \emptyset$ となります。族 $\{ V_y \cap V_z \}$ は有限交叉性を持つため、これを生成系として拡張したウルトラフィルター $\mathcal{F}$ が存在します。構成から $\mathcal{F}$ は $y, z$ 両方のすべての開傍受を含むため、$\mathcal{F} \to y$ かつ $\mathcal{F} \to z$ となり一意性が崩れます。

$(\implies)$ の証明: $Y$ がコンパクトとし、ウルトラフィルター $\mathcal{F}$ がどの点にも収束しないと仮定します。各 $y \in Y$ に対して開傍受 $V_y \notin \mathcal{F}$ が存在し、$\mathcal{F}$ の極大性から $Y \setminus V_y \in \mathcal{F}$ です。$\{ V_y \}$ は開被覆となるため、コンパクト性より有限部分被覆 $\{ V_{y_1}, \dots, V_{y_n} \}$ を持ちます。ド・モルガンの法則から $\bigcap_{i=1}^n (Y \setminus V_{y_i}) = \emptyset$ となりますが、各 $Y \setminus V_{y_i}$ は $\mathcal{F}$ に属するため有限交叉性により $\emptyset \in \mathcal{F}$ となり矛盾します。

$(\impliedby)$ の証明: 対偶を示します。$Y$ がコンパクトでないとすると、有限部分被覆を持たない開被覆 $\{ U_i \}_{i \in I}$ が存在します。すなわち閉集合族 $\{ Y \setminus U_i \}$ は有限交叉性を持ち、これを含むウルトラフィルター $\mathcal{F}$ が作れます。もし $\mathcal{F} \to y$ となると、被覆であるため $y \in U_{i_0}$ なる $U_{i_0}$ があり $U_{i_0} \in \mathcal{F}$ となります。一方で構成から $Y \setminus U_{i_0} \in \mathcal{F}$ なので $\emptyset \in \mathcal{F}$ となり矛盾。よって収束しないウルトラフィルターが存在します。

$\beta X$ はコンパクトHausdorff空間であるため、前節の同値性により $\mathfrak{U} \in \beta\beta X$ は $\beta X$ 内のただ一つの元に収束します。その収束先が $\mathcal{F} = \mu_X(\mathfrak{U})$ と一致することを示します。

$\mathfrak{U} \to \mathcal{F}$ を示すには、位相空間 $\beta X$ における $\mathcal{F}$ の任意の開傍受 $\mathcal{O}$ に対して、$\mathcal{O} \in \mathfrak{U}$ となることを示せば十分です。
$\beta X$ の開基は $\{ A^* \}$ なので、$\mathcal{O}$ はある基本開集合 $A^*$ を含み、$\mathcal{F} \in A^* \subseteq \mathcal{O}$ を満たすように取れます。
$\mathcal{F} \in A^*$ ということは、定義から $A \in \mathcal{F}$ です。
ここで $\mathcal{F} = \mu_X(\mathfrak{U}) = \{ A \subseteq X \mid A^* \in \mathfrak{U} \}$ の定義を用いると、$A \in \mathcal{F} \iff A^* \in \mathfrak{U}$ が成り立ちます。
したがって $A^* \in \mathfrak{U}$ となります。$\mathfrak{U}$ はフィルターであり $A^* \subseteq \mathcal{O}$ であるから、条件より $\mathcal{O} \in \mathfrak{U}$ となります。
これは収束の定義を満たしており、$\beta X$ はHausdorffであるため、$\mu_X(\mathfrak{U})$ が唯一の収束先であることが証明されました。